Článek
Stovky nových matematických důkazů nahrála firma OpenAI na web 6. října. Mnohé z nich nabízejí řešení tzv. „otevřených problémů“, tedy otázek, na které matematika zatím neznala odpovědi.
„Je to nejdůležitější okamžik v dějinách matematiky,“ uvedl výzkumník Constantin Kogler z amerického Institute for Advanced Study. „Je to, jako kdybychom se celý život museli plazit, a teď najednou máme možnost létat,“ popsal pocity svých kolegů Dan Litt, profesor matematiky na University of Toronto.
Kontroverzní skok kupředu
Měřeno čistě množstvím publikovaných důkazů byl uplynulý měsíc pravděpodobně nejintenzivnější „skok“ v historii matematiky. „Kdyby něco takového udělal člověk, je to automaticky na Fieldsovu medaili, to je bez debat,“ uvažoval Alex Kontorovich, vedoucí matematické katedry na Rutgers University. Reagoval tak jen na jeden ze stovek důkazů, tzv. kvazi-Riemannovy hypotézy.
Jenže za těmito důkazy není člověk. Publikované důkazy dokonce nejsou pro lidi příliš srozumitelné. A v tom je podle řady matematiků ten problém. Několik držitelů již zmíněné Fieldsovy medaile – nejprestižnějšího ocenění v matematice – vydalo již v září prohlášení o tom, že aktivity AI laboratoří v matematice jsou v ostrém nesouladu s tím, jak obor funguje: „Masová a stále rychlejší produkce důkazů typu platí/neplatí by mohla zničit ekosystém, který umožňuje matematikům přicházet s novými myšlenkami.“
Řadě lidí v oboru vadí právě forma, kterou firma OpenAI „nabourává“ matematický proces. Ale neměli by být matematikové naopak rádi za to, že dostali tento „dárek“?
Není náhoda, že se OpenAI zaměřila právě na matematiku. Ale podobným výzvám budou kvůli zlepšující se umělé inteligenci čelit – nebo už čelí – téměř všechny obory. Vyplatí se proto pochopit, v čem námitka matematiků spočívá a jak se s novou situací vypořádají.
Co AI skutečně „dokázala“
Pokrok v matematice probíhá obvykle mimo zraky – i mimo chápání – veřejnosti. Tu a tam se do médií probojuje informace, že nějaký matematik dokázal nějakou větu. Důkazy nejsou hlavní náplní práce matematiků, ale tradičně patřily k nejvyšším metám. Jde o výjimečnou událost nejen v kariéře daného matematika, ale často v celém oboru, kterého se daný důkaz týká.
Tento krok – vytvoření exaktního a ověřeného důkazu – tedy nyní zjevně zvládnou interní modely OpenAI velmi dobře. Už v září firma OpenAI v matematické komunitě vzbudila rozruch, když publikovala údajné řešení Navier-Stokesových rovnic, jednoho ze šesti nevyřešených „problémů tisíciletí“. Na řešení výzkumníci nasadili desítky tisíc AI agentů, kteří vyprodukovali formální důkaz a 166stránkové „vysvětlení“. „Tento článek není psaný pro lidi,“ postěžoval si tehdy matematik Javier Gómez-Serrano z Brown University. Zveřejnění Navier-Stokes důkazu provázely i další kontroverze ohledně podezření na plagiát, které se ale nepotvrzdily. A zpětně viděno se jeví jako v podstatě podružné.
V říjnu totiž OpenAI udělala něco dosud nevídaného. Naráz na repozitáři Github zveřejnila 722 matematických studií, které mají řešit asi 372 dosud otevřených matematických problémů. Podle vyjádření OpenAI to zvládl jejich interní model na jeden pokus: „Na vyřešení jednoho problému byl vynaložen výpočetní výkon, který odpovídá asi třem hodinám běhu ChatGPT Pro.“
Výzkumníci dali internímu (dosud neveřejnému) AI modelu databázi čtyři tisíc nevyřešených matematických problémů, a model více než tři stovky z nich dokázal zapsat v jazyce Lean, což víceméně zaručuje, že důkaz je jednoznačně ověřený a platný.
Říjnový „balík důkazů“ nebyl dokonalý. Tři texty už firma kvůli objeveným chybám vzápětí stáhla. Celkově vzato jde ale o neuvěřitelný a ve vědecké praxi bezprecedentní skok.
Proč právě matematika?
Jazykové modely – ten typ AI, která pohání chatboty jako ChatGPT nebo Claude – urazily v matematice dlouhou cestu, a to velmi rychle. Ještě na začátku roku 2023 měl ChatGPT problém i s jednoduchými matematickými operacemi a ve středoškolské matematické soutěži dostal jen 30 bodů ze 150. Vypadalo to, že jazykové modely budou sice hezky psát, ale na „královnu věd“ zkrátka nedosáhnou.
Jenže pak přišly „přemýšlecí modely“ a AI dostala možnost používat externí nástroje nebo si psát a spouštět vlastní skripty. V roce 2025 už jazykové modely vyhrávaly matematickou olympiádu, což znamená, že „pochopily“ a vyřešily velmi abstraktní úlohy. A v roce 2026 najednou začaly AI laboratoře řešit abstraktní matematické problémy, které zatím člověk nevyřešil.
Mohlo by se zdát, že když umí AI vyřešit tyto nesmírně komplikované problémy, není nic, co by nezvládla. Ve skutečnosti patří ale abstraktní matematika (a také programování) k disciplínám, ve kterých je rychlý pokrok očekávatelný.
Pro laboratoře jako OpenAI, Anthropic nebo Google je totiž matematika ideální tělocvičnou pro trénování modelu. Každé správné řešení lze totiž velmi rychle – strojově, automaticky a perfektně – ověřit. Model tak dostane okamžitou zpětnou vazbu, což je klíčové pro vývoj, trénování i následné doladění.
Zpětnovazební učení – Jazykový model (LLM) se nejprve vytrénuje na velkém množství textu. Po natrénování neuronové sítě dochází k jejímu doladění, a to mimo jiné pomocí zpětné vazby. Model vytváří odpovědi a dostává „odměny“ za ty správné. Podle toho model upraví „vyvážení“ svých parametrů.
S lidskou zpětnou vazbou (RLHF) – Univerzální, ale nejpomalejší a nejdražší typ hodnocení, který stál za prvotním úspěchem ChatGPT. Člověk ručně seřadí např. čtyři různé odpovědi na stejnou otázku od subjektivně nejlepší po nejhorší.
S automatizovanou zpětnou vazbou (RLVR) – Pro některé typy úloh lze jednoznačně posoudit správnost pomocí automatizované zpětné vazby. Například pro psaní počítačového kódu nebo právě pro matematické důkazy lze odpověď prohnat algoritmem pro ověření a dát tak zpětnou vazbu okamžitě. Proto schopnosti AI v posledních dvou letech nejrychleji rostou v programování a v matematice.
Schopnosti AI modelů rostou exponenciálně a pro vývojáře je proto čím dál těžší posoudit, zda se modely zlepšují. Navíc jsou schopné si vymýšlet nesmysly (tzv. halucinovat), což nadále komplikuje testování modelů. Co když nový model tvrdí, že něco vymyslel, jenže ve skutečnosti to opsal z dat, na kterých byl natrénovaný?
Otevřené matematické problémy jsou proto k ladění nových AI modelů z pohledu laboratoří ideální. Jsou extrémně těžké, ukazují na obecné logické a programátorské schopnosti a firma má zaručeno, že jejich řešení nejsou v trénovacích datech. Odpovídá to i vysvětlení OpenAI: „Do těchto testů jsme se pustili poté, co modely začaly být v matematice tak dobré, že naše interní testy už pro ně byly příliš jednoduché.“
„Matematika je pro takové technologie mimořádně vhodnou oblastí,“ připomíná matematik Richard Kollár z Univerzity Komenského v Bratislavě. „Patří mezi disciplíny, v nichž lze správnost argumentů do značné míry ověřovat strojově. Z mého pohledu tedy nebylo zásadní otázkou, zda k takovému posunu dojde, ale spíše kdy.“
Jak víme, že se AI neplete?
Matematikové umí potvrdit platnost matematického důkazu, aniž by jej museli pochopit, nebo dokonce číst. Slouží jim k tomu programovací jazyk Lean, který umožňuje počítačovou kontrolu všech kroků. Když Lean důkaz přijme, znamená to, že každý krok plyne z předchozího a nedošlo k přeskočení, přehlédnutí nebo vynechání nějaké podmínky.
Na této ověřitelnosti mají přitom zásluhu především lidé. Desítky, spíše stovky matematiků se podílely na vývoji nástrojů jako Lean, které následně umožnily matematické důkazy převést do dokonale strojové verze. Paradoxem ale je, že nyní umí AI vytvořit důkazy, které jsou sice zaručeně správné – strojově ověřené – ale pro lidi jsou zcela nesrozumitelné.
Lidská matematika vypadá jinak
Když objeví umělá inteligence nový důkaz, je to pro její vývojáře důležitý signál: jdou správným směrem. AI model se ale nestará o to, co s důkazem bude dál. Také AI laboratoře mají motivaci spíše finanční nebo reputační než vědeckou.
„Samozřejmě je to velký pokrok, který se nedá zastavit, nicméně se musí nastavit pravidla jak pro AI, tak pro vědce používající AI,“ domnívá se Šárka Nečasová z Matematického ústavu AV ČR. „Veškeré výsledky AI bude potřeba ověřit, a protože mnoho z nich jsou závažné a těžké problémy, nebude snadné případně odhalit chyby. To ovšem nemůže řešit jen AI, to musí řešit vědci.“
„Způsob, jakým OpenAI výsledky zveřejnila, považuji za velmi nešťastný,“ souhlasí Kollár. „Mnohem vhodnější by byl postupný a transparentní způsob zveřejňování ve spolupráci s matematickou komunitou, který by umožnil jednotlivé výsledky odborně posoudit, vysvětlit jejich význam a zařadit je do kontextu existující literatury.“
Důkaz pochopitelný pro lidi má tu výhodu, že jej – z podstaty věci – mohou pochopit i další lidé. Je tedy možnost, že se z důkazu něco obecnějšího naučí. Jednodušší důkazy jsou často grafické a intuitivně pochopitelné. Když s novým důkazem přijde matematik, obvykle proces netrvá několik hodin, ale spíše několik let. Hotový důkaz je zaslán do recenzního řízení a – když jde všechno hladce – do několika měsíců vyjde v odborném časopise.
Ale publikací důkazu to zdaleka nekončí. Slavný matematik Terence Tao, rovněž držitel Fieldsovy medaile, vysvětluje, že samotný důkaz je jen třetina procesu: napsání důkazu, ověření důkazu a strávení důkazu.
Tím strávením důkazu (v originále: digestion) myslí to, co se děje v matematické komunitě poté, co je důkaz objeven, ověřen a publikován. Následují přednášky, konference, další publikace, hledání obecnějších principů atd. „Schopnost prezentovat výsledky na konferenci a odpovídat na otázky z publika ukazuje, že dochází k procesu trávení,“ vysvětluje Tao.
Podle Granta Sandersona, který se zaměřuje na popularizaci matematiky pomocí nápaditých vizualizací, by měla matematika nyní klást větší důraz na schopnost vysvětlovat: „Nové přístupy k vysvětlení by měly být stejně oceňované jako nové důkazy otevřených problémů.“
Masová produkce důkazů – tak, jak to předvedla OpenAI, když hodila na web stovky textů – je lidsky neudržitelné a nestravitelné tempo. „V matematice používáme relativně snazší otevřené otázky při výchově doktorandů. Mnohé z těchto otázek dnešní AI jednoduše umí vyřešit, čímž hrozí, že naruší celý systém výchovy mladých matematiků,“ varuje Vítězslav Kala z Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy.
„Tyto otevřené problémy byly tedy něčím jako lákadlem, jak pomoci matematiku rozvíjet skrze jejich řešení,“ vysvětluje Milan Pokorný, ředitel Matematického ústavu Univerzity Karlovy. „Nejde tedy jen o vyřešení problému, ale o samotný proces řešení, který přinášel nové myšlenky.“
Když stroj začne chrlit hotová řešení, ohrožuje to pak celý tento zavedený systém. Kollár to přirovnává ke křížovkám: „Je to trochu podobné, jako kdybychom se učili luštit křížovky, ale u každého těžšího slova bychom si bez snahy pochopit jeho význam okamžitě otevřeli křížovkářský slovník.“
Je cílem důkaz, nebo cesta k důkazu?
Někteří matematici mluví o tom, jak naráz publikované důkazy ze dne na den vymazaly desítky grantových žádostí a dokonce celé obory. Například výzkumníci zabývající se kombinatorikou mluví o tom, že „jejich výzkumným polem projel buldozer“.
Vzniklo dokonce hnutí za lidskou matematiku, jehož signatáři požadují, aby AI firmy upustily od masového vytěžování matematických problémů: „Matematikové se o tuto práci neprosili. Poradní skupina OpenAI (…) žádala, aby nepoužívali při výzkumu neveřejné modely. OpenAI to nerespektovala a ukázala, že nehodlá respektovat normy vědeckého postupu.“
Ne všichni matematici si stěžují. Kevin Buzzard z Imperial College London to napsal schválně provokativně: „Mně jde o počet dokázaných vět.“ Také Timothy Gowers, rovněž držitel Fieldsovy medaile, nepodepsal protesty kolegů, protože se nedomnívá, že by publikované důkazy poškozovaly matematiku jako takovou: „Na internetu je taky více videa, než kdo dokáže zhlédnout, a nikdo to nepovažuje za katastrofu.“
A skutečně není jednoduché vysvětlit, proč by měl být problém, že jsou najednou k dispozici důkazy, které předtím nebyly známé. Nic přece nebrání, aby matematici pokračovali v „lidském“ zkoumání, pokud o asistenci AI nestojí.
„Reakce matematiků může u části veřejnosti vyvolávat dojem, že jde hlavně o projev uraženého ega nebo obavy ze ztráty postavení. To je však zásadní nedorozumění,“ domnívá se Kollár. „Osobní frustrace může samozřejmě hrát roli, ale podstatná část kritiky směřuje k důsledkům, které může mít současný způsob produkce a zveřejňování vědeckých výsledků pomocí AI pro celý ekosystém vědy.“
Už v roce 2024 varovaly výzkumnice Lisa Messeriová a Molly Crockettová, že AI přinese do vědeckého bádání období, ve kterém se bude produkovat velké množství textů, ale ne nutně porozumění. To nyní zdůrazňují i mnozí matematikové. Držitelé Fieldsovy medaile ve společném prohlášení varují před důrazem na výsledky: „Řešení problémů je jen nástroj k tomu, abychom dosáhli našeho skutečného cíle, kterým je skutečné konceptuální porozumění problému.“
„Objevují se dokonce veřejné závazky, že vědci nebudou používat AI nástroje. Právě tento typ reakce je podle mě důležitým signálem toho, co můžeme v nejbližších letech pozorovat i v jiných vědeckých disciplínách a později v širší společnosti,“ říká Kollár.
Dopady pocítí celá věda
Důkazy, které nejsou člověku srozumitelné, totiž dávají jen odpověď ano/ne. Dávají ji s naprostou – ale pro lidi nepochopitelnou – jistotou. Taková odpověď ostatně může být nesmírně užitečná. Bylo by nesmyslné informaci ignorovat.
Tao ve své nedávné přednášce argumentuje myšlenkovým experimentem: „Řekněme, že pokročilá AI dostane zadání Najdi lék na rakovinu, který projde třetí fází klinických zkoušek. Nedělej chyby. Po obrovském množství výpočtů navrhne koktejl dosud neznámých látek, které po smíchání a vpíchnutí pacientovi zabijí všechny jeho rakovinné buňky. Nikdo pořádně neví, jak na ten koktejl AI přišla, ale AI k němu přiloží certifikát v Leanu a lék skutečně projde i třetí fází klinických zkoušek.“
Tao to uvádí jako argument proti těmto nepochopitelným důkazům, ale ve skutečnosti naopak mimoděk přináší argument pro AI. Kdo by odmítl lék, který funguje? V medicíně je ostatně poměrně běžné, že se používají účinné látky, pokud projdou testy, a to i když neznáme přesně jejich princip účinku.
Přinejmenším krátkodobě je proto „pro lidské chápání neproniknutelná jistota“, kterou pokročilá umělá inteligence nabízí, užitečná. Dlouhodobě ale hrozí zakrnění oboru.
Jak vypadá svět, kde lidé ničemu nerozumí?
Kala to přirovnává k závodu o vesmír: přistání na Měsíci nám samo o sobě „na nic moc není“, ale vyžadovalo vyřešit spoustu inženýrských problémů s praktickým využitím. Podobně podle něj velké matematické problémy lákají matematiky budovat teorie. Důkaz Velké Fermatovy věty stojí na eliptických křivkách, které dnes chrání šifrování v platebních kartách. „Znamená to ale, že samotný důkaz těžkého matematického výsledku nemá až takovou hodnotu,“ dodává matematik.
Řekněme, že by lidé v 16. století dokázali sestavit dokonalou věštírnu, které by stačilo ukázat plán mostu a věštírna by okamžitě odpověděla, zda most vydrží, nebo zda spadne. Byla by neomylná. Pro stavitele by to byl nesmírně cenný nástroj: nemuseli by se bát zborcených mostů a zbytečných obětí.
Jenže vševědoucí věštírna by nedokázala lidem vysvětlit, proč most vydrží, či ne. Vzala by motivaci principy zkoumat. Lidé by tak v rámci bádání nikdy neobjevili rovnice počítající rozložení zátěže, nevznikl by obor statiky nebo stavební inženýrství. Lidé by stavěli stabilní mosty, ale nikdy by se nepustili do stavby mrakodrapů nebo metra. Tyto nové stavby jsou totiž možné až díky pochopení principů, které posouvá obor kupředu.
Matematika to nyní schytala naplno. Podobný rozpor mezi výkonem a pochopením lze ale očekávat i v dalších oborech: „Během následujících let lze očekávat, že řada teoretických otázek ve vědě bude zcela transformována, protože je AI najednou zvládne řešit,“ domnívá se informatik Neil Thompson z Massachusettského technologického institutu (MIT). A bude to mít podle něj důsledky pozitivní i negativní. Někde nové poznatky popoženou vývoj kupředu k novým horizontům. Jinde seberou lidem motivaci se na daný obor vůbec hlásit.
Co zbyde lidem? Oči pro pláč a krása
To je možná nejpalčivější akutní dopad. Někteří lidé – například studenti zvažující doktorandské studium matematiky – opravdu pociťují, že se jim otřásla půda pod nohama.
„Byly dny, kdy jsem během rozhovorů opravdu plakal,“ přiznal v podcastu The New York Times matematik Steven Stogatz z Cornell University. „Všichni na katedře matematiky jsme z toho v šoku. Student se mne na setkání zeptal, o co se tedy vlastně máme snažit? Když AI zvládne řešit matematiku lépe,než jakýkoli člověk, co teď? Jistě, můžeme se poučit z toho, co objevila AI, ale já přece taky chci objevovat. Chci pocítit to nadšení. Nechci, aby můj život postrádal smysl.“
Stogatz to přirovnává k různým fázím truchlení, a připomíná, že lidský život má smysl právě proto, že je krátký: „Všechno je krásné v čase, který je tomu dán,“ cituje matematik ze starozákonní knihy Kazatel. „Máme krátký čas, a v tom je ta krása.“
Strogatz také připomíná, že i v matematice je krása, například v elegantních důkazech. Legendární maďarský matematik Paul Erdös mluvil o tzv. Knize, ve které má Stvořitel napsané nejkrásnější důkazy každé matematické věty. Když se Erdösovi podařilo najít nějaký elegantní důkaz, hovořil o něm, jako že je „z té Knihy“. Krásou se zde myslí intuitivní přístupnost, elegance, pochopitelnost.
Důkazy, kterými OpenAI obohatila matematiku, by se do této Knihy asi nedostaly. Jenže stroje umějí i krásu. Strogatz vzpomíná, jak model OpenAI v květnu vyřešil jednu ze slavných úloh maďarského matematika Paula Erdöse o vzdálenostech mezi body. Propojil přitom dvě oblasti, diskrétní geometrii a teorii čísel, které spolu dřív moc nekomunikovaly. Pro Strogatze to byl estetický zážitek: „Objektivně to bylo opravdu krásné a úžasné, ale nebylo to lidské.“
Pro francouzského matematika Huga Duminil-Copina právě v tom spočívá povzbuzení, návod k tomu, co je role matematiků v tomto novém světě: „Zaměřit se na výsledky a vytvořit kolem nich lidskou činnost.“ AI sice vzala matematikům jeden úkol, ale postavila je před nový: jak abstraktní matematiku udržet pochopitelnou pro lidi, ne jen pro počítače.
Také Duminil-Copin, další držitel Fieldsovy medaile, přiznává, že jej rychlost šokovala: „Plakal jsem tak, až jsem vzbudil dceru. Úplně rozprášili celou mou oblast výzkumu.“
Navzdory důrazu na tvrdá čísla a objektivní důkazy jsou ostatně matematikové také jen lidé. A to, jak prožívají vpád „nelidsky schopné AI“ do svého oboru, může být předzvěst toho, co čeká i další oblasti lidské činnosti.
„Neměli bychom se nechat odradit AI a měli bychom i dál vytvářet krásnou vědu,“ povzbuzuje matematička Nečasová. Ve hře není podle matematiků nic menšího než budoucnost celého oboru. „Matematická komunita v mnoha ohledech funguje jako zmenšená verze lidstva,“ píší držitelé Fieldsovy medaile v prohlášení. „Nejcennějším bohatstvím naší profese jsou studenti a nápady.“
Francouzský matematik Jean-Pierre Serre, (ano, další držitel Fieldsovy medaile), který letos oslavil 100. narozeniny, má pro mladé lidi povzbuzení: „Matematikové mají radost ze dvou věcí. Z učení se a z objevování nových věcí. V tom je ten konflikt. AI nám umožní se toho naučit více, ale méně toho objevíme sami.“
