Náhoda, která většinu lidí zmate. Kdo vyhraje souboj mincí?

Nebudeme to prodlužovat a jdeme rovnou k hádance. Patří mezi ty „méně známé slavné hádanky“, a je jasné, proč. Chvíli trvá, než ji někomu vysvětlíte, zadání je potřeba číst pečlivě. Ale i lidé, kteří si zadání správně nastudují, mohou zvolit špatnou odpověď…

Podařilo se vám trefit do správné odpovědi? Pokud ne, nejste sami. Jde o jednu z těch hádanek, která je opravdu neintuitivní. Naštěstí máme tentokrát – na rozdíl od minulé hádanky – jednoduchý způsob, jak si ověřit, která odpověď je správná.

Začneme nejčastějšími špatnými odpověďmi. Někteří lidé se nechali nachytat na větičku: „Minulé kolo jste vyhráli.“ Mají tedy intuitivní pocit, že příští kolo mají proto menší šanci vyhrát, aby se šance vyrovnaly a „vesmír zůstal v rovnováze“. Jde o častý omyl, mimo jiné zneužívaný hazardními hrami. Každý další hod mince, každé další kolo, každá hra je nezávislá na té předchozí.

Jiní na tuto vějičku neskočili, ale místo toho si v hlavě udělali rychlou úvahu: kombinace P-O-O a kombinace O-O-P je stejně pravděpodobná. Není důvod, aby jedna padala častěji. Takže je to padesát na padesát, tedy šance 50 %. To je nejčastější odpověď. A je nesprávná.

Ukážeme si, v čem je klíčová chyba této – na první pohled zcela logické – úvahy.

Napřed si ujasníme, co přesně tu řešíme. V zadání rozpoznáme klíčové pojmy, na kterých budeme později stavět naše pochopení, a tak je důležité, abychom se na nich shodli už od začátku.

Někdy se vyplatí pokusit se napřed pochopit princip a pak se teprve „ušpinit“ reálnými daty. Ale u této hříčky doporučuji pravý opak. Pojďme si vyzkoušet, jak bude ve skutečnosti taková hra vypadat.

Simulaci samozřejmě zvládnete i bez počítače doma. Udělejte si chvilku s mincí, papírem a tužkou, a házejte, dokud nebudete mít hotových třeba dvacet kol této hry. Výsledek je jasný: sekvence P-O-O vítězí častěji než O-O-P.

Napřed důležitá odbočka, která nám ukáže klíčovou část zadání. Kdybychom hledali, jestli se sekvence P-O-O bude vyskytovat častěji než O-O-P, řekněme v náhodné sekvenci deseti hodů mincí, budou se obě sekvence vyskytovat stejně často. V našem zadání ale nehledáme výskyt kdekoli v sekvenci. Začínáme vždy nové kolo, a vítězí ta sekvence, která se celá objeví jako první, ve chvíli, kdy se jedna sekvence objeví, kolo končí.

Když běží P-O-O samostatně, má stejnou šanci jako O-O-P. Ale když běží závod vedle sebe, tak P-O-O jednoznačně vyhrává. A čím více her nasimulujete, tím více se výsledek bude blížit poměru 75:25, tedy 3:1. Ale jak je to možné? A proč právě tento poměr?

Pomohlo mi, když jsem si ty hody seřadil tak, abych vedle sebe viděl vítězná kola pro P-O-O a vítězná kola pro O-O-P. Zkuste si tedy znovu naši oblíbenou simulaci. Tentokrát ale dole máme možnost filtrovat si výsledná kola podle toho, kdo vyhrál. Najdete souvislost mezi hrami, které vyhrála sekvence O-O-P?

A začíná to být jasné… Každé kolo, které skončilo vítězně pro O-O-P, začíná dvěma óčky. Bez ohledu na to, jak dlouhá nebo krátká ta řada nakonec je, každá sekvence, ve které zvítězilo O-O-P, začíná stejně.

A tady je také nejjednodušší odpověď na naši hádanku, která vysvětluje, proč je poměr 75 procent. Po dvou počátečních hodech mincí je o vítězi rozhodnuto. Řada může pokračovat, klidně opravdu dlouho, ale výsledek se nemůže změnit:

Není to úplně intuitivní, ale je to pravda, kterou si můžete ověřit buď v simulacích výše, nebo si ji odvodit abstraktní úvahou. Sekvence O-O-P nemá šanci být první, pokud kdykoli během daného kola padne panna jindy než po dvou orlech. Takže pokud během prvních dvou hodů padne alespoň jedna panna, už nemá v daném kole sekvence O-O-P šanci uspět. Vždycky ji totiž v takto započatém kole sekvence P-O-O předběhne.

Naopak pokud je sekvence od začátku orlí, tedy pokud kolo začne O-O… tak už je jen otázka času, než vyhraje sekvence O-O-P.

A z toho můžeme odvodit ten neintuitivní poměr. Kola začínající kombinací O-O budou tvořit přesně 25 procent všech kol. To, že padne jako první orel, je poloviční šance. To, že i v následujícím kole padne orel, je opět poloviční šance, tedy dohromady polovina poloviny, jedna čtvrtina. Pravděpodobnost, že se v náhodné sekvenci hodů mincí objeví P-O-O dříve než O-O-P, tak je přesně 75 %.

Hádanka, ve které dva lidé sledují, která sekvence padne v náhodné řadě hodů dříve, je více než 50 let stará. Představil ji matematik Walter Penney v roce 1969 v tehdy mladém časopise Journal of Recreational Mathematics. Dodnes vycházejí variace na jeho hádanku, my jsme ukázali její nejjednodušší verzi. Kdybyste se do toho chtěli více ponořit, zjistíte například, že sekvence P-O-O a O-O-P není výjimečná. Ke každé trojici lze najít anti-trojici, která ji bude v závodě „kdo dřív přijde“ spolehlivě porážet. Ne vždycky poměrem 3:1. Ale to už jsou takové libůstky pro zájemce…

My se spíš pojďme podívat na to, proč je tato hádanka tak obtížná? Zjednodušeně řečeno proto, že lidé neumí pracovat s pravděpodobnostmi. Mozek nemá v běžném provozu šanci si věci věrně simulovat nebo počítat z hlavy Bayesův vzorec, a tak jsme si místo toho vytvořili myšlenkové zkratky, s pomocí kterých si odhadování procent usnadňujeme.

Psychologové například znají „iluzi stejných šancí“. Popsala ji francouzská badatelka Marie-Paule Lecoutre, která ve výzkumu z roku 1990 ukázala, jak lidé považují náhodné jevy za rovnocenné. Téměř ze zásady. Buď se to stane, nebo se to nestane, půl na půl.

To je paradoxně přístup, který nám pomáhá vyhnout se jinému častému omylu: lidé mívají pocit, že „když se daří, tak se daří“, a tedy že když jim to padá, bude jim to padat dále. Naproti tomu jsou lidé, kteří věří výše zmíněnému „vesmírnému vyrovnávání“, kteří by naopak řekli, že když na ruletě pětkrát za sebou padla černá, tak teď má červená barva vyšší šanci. Nemá. Je velmi malá šance, že padne šest černých za sebou, ale stejně tak malá šance je, že padne pět černých a červená za sebou. Ale lidský mozek jedné té sekvenci připisuje vyšší zajímavost, a tak si jí spíše všimne.

Náhoda je zkrátka matoucí. Lidé mají tendenci hledat v náhodě řád a v řádu náhodu. Zakladatel a tehdejší šéf firmy Apple Steve Jobs si třeba jednou posteskl, že lidé jim nevěřili, že jejich algoritmus na náhodný výběr písniček opravdu vybírá náhodně. Měli pocit, že následující skladba měla něco příbuzného s tou předchozí, protože náš mozek je nastavený na to, aby hledal souvislosti. Jobs nakonec přidal funkci „chytré náhody“, která byla méně náhodná než náhoda, ale díky tomu lidem přišla náhodnější…

Hlavní poučení zřejmě je, že když přijde na odhad náhody nebo pravděpodobnosti, nemůžeme se spolehnout na svou intuici. Nejlepší je si to nasimulovat a spočítat.