Vyplatí se změnit volbu po otevření dveří? Slavná hádanka má matoucí řešení

Hádanka vychází z televizní soutěže ze 60. let, a tak zní zadání poněkud podivně. Ale princip rébusu je vcelku jednoduchý: máte určit, která ze dvou strategií vám dá vyšší pravděpodobnost výhry.

Jak už jsme předeslali, tato hádanka je záludná ve své zdánlivé jednoduchosti. Ve skutečnosti v ní ale hodně lidí udělá chybu, protože postupuje intuitivně, namísto aby si pečlivě spočítali pravděpodobnosti. Ale i ti, co si věci napíší na papír, mohou sklouznout ke špatnému řešení.

V roce 1990 popsala tento problém americká spisovatelka Marilyn vos Savant, známá také jako nejchytřejší žena světa (podle tehdejší Guinnessovy knihy rekordů). V následujících týdnech a měsících prý dostala deset tisíc dopisů od čtenářů (mnoho z nich podepsaných, včetně doktorského titulu) o tom, že se spletla. „To vy jste ta koza,“ napsal jí jeden rozhořčený čtenář, který se odmítl smířit s jejím – fakticky správným – řešením hádanky.

Hádanka zvaná Monty Hall Problem zkrátka budí silné emoce. Snadno v ní udělají chybu i chytří lidé. A právě pro ně je pak těžké uznat, že jejich prvotní propočet byl mylný. Pojďme se tedy podívat na to, proč je pro většinu lidí tak těžké na tuto hádanku odpovědět správně.

Možná nejjednodušší cesta k pochopení hádanky je podívat se, co se v ní děje během každého kroku:

Podívejte se na to, jak se „přelévá“ pravděpodobnost z moderátorem otevřených dveří, v názorné simulaci.

Pro někoho tato demonstrace stačí. Ale ne každému je takové „zmrazení“ původní třetinové šance jasné. Nejprve se podíváme na to, v čem lidé nejčastěji chybují.

Nejčastější chyba při řešení hádanky spočívá ve zdánlivě správné úvaze: „Když jsem vybíral ze tří dveří, byla šance každých dveří třetinová. Ale teď najednou vybírám ze dvou dveří, a tak šance obou dveří jsou poloviční. Tedy pro obě dveře stejné, a tak nemá smysl volbu měnit.“

To by platilo, kdyby se po otevření dveří s kozou tyto dveře odstranily a ceny za dveřmi by se znovu náhodně zamíchaly. Pak by skutečně šlo o novou úlohu a naše předchozí volba by nehrála žádnou roli. Bylo by to půl na půl.

Jenže k novému zamíchání v našem zadání nedochází. Své první dveře jste vybrali zcela náhodně, a tak je jejich šance na to, že obsahují poklad, pořád jedna třetina. Šance, že jste vybrali špatné dveře, tedy dvoutřetinová. Moderátor odstranil dveře, o kterých věděl, že poklad neobsahují. Takže je nulová šance, že by otevřel dveře s pokladem. Jinými slovy, když nyní změníte svou volbu, máte dvoutřetinovou šanci na výhru. Když zůstanete u původní volby, je to pořád jen ta třetina, protože mezitím nedošlo k žádnému míchání.

U problémů, které se týkají pravděpodobnosti, je obvykle možné přesně spočítat pravděpodobnost toho či onoho výsledku. To samozřejmě můžeme udělat i zde. Bayesova věta nemá s hádankou nejmenší problém.

Zároveň je to ale asi nejméně účinný způsob, jak princip této hádanky někomu vysvětlit. Vzorec může sloužit ke zjištění přesných procent, pokud se shodneme na tom, co počítáme. Ale lidé, kteří jsou přesvědčeni, že správná odpověď je „změna nemá cenu, je to půl na půl“, vám ani pak nebudou věřit. Vždyť jste pro ně někdo, kdo (z jejich pohledu) nerozumí samotným základům statistiky. Tak proč by vám věřili, že umíte dosadit správně čísla do vzorce?

Můžete tedy sáhnout po silnějším kalibru: simulaci. V tomto případě jde o celkem jednoduchou situaci, a tak ve chvíli, kdy ji zopakujete třeba stokrát nebo tisíckrát, celkem jasně se ukáže, že strategie „změnit dveře“ jednoznačně vyhrává. S úspěšností, která se bude blížit 66,7 % – a bude se blížit tím spíš, čím vícekrát simulaci spustíte.

Jenže ani simulace chytrého oponenta nepřesvědčí. Problém je stejný jako se vzorcem výše. Pokud vás někdo má za člověka, který nechápe ani základy statistiky („ani neví, že pravděpodobnosti se nesčítají!“), proč by vám věřil, že umíte naprogramovat simulaci?

Dokonce se mi stalo, že mi lidé posílali své simulace, které naopak dokazovaly, že na změně nezáleží. Své nepochopení hádanky zkrátka převedli i do svého algoritmu. Ten pak spustili a ještě se utvrdili v tom, že mají pravdu oni, zatímco novinář to samozřejmě popletl.

Osvědčilo se mi proto vysvětlovat princip hádanky pomocí alternativních verzí. Tedy vytvořit jiné zadání hádanky, které se od toho původního v nějakém detailu liší, a pak řešit tuto novou hádanku. Nejčastěji lidem pomůže tato změna.

Řekněme, že těch dveří je na začátku deset. Za jedněmi z těch dveří je poklad a za devíti z nich je ta koza, která znamená prohru. Na začátku vyberete jedny dveře. Šance, že jste se trefili do pokladu, je jedna desetina. Zatímco šance, že je poklad ve zbytku dveří (říkejme jim „množina odmítnutých“), je tedy zbylých devět desetin, 90 procent.

Moderátor po vašem výběru udělá to samé, co předtím. Ale tentokrát to vypadá jinak. Moderátor totiž otevře osm dveří ze zbývajících devíti. Za všemi z nich je koza.

Vy teď máte na výběr. Můžete zůstat u těch dveří, které jste vybrali na začátku. Tyto dveře tedy mají stále tu původní šanci. Vybrali jsme je náhodně z deseti dveří, tedy šance, že je za nimi výhra, je 10 %. Nebo můžete změnit volbu, a tím vlastně vybrat celou tu „množinu odmítnutých“, protože v ní už zbývají jen jedny dveře. A ty s 90% šancí skrývají poklad.

Najednou je na první pohled zřejmé, že moderátor nejedná náhodně. Ví, které dveře otevírá a proč. Je také evidentní, jak malá šance byla, že byste se zrovna na první pokus náhodou strefili do správných dveří. Pokud si můžeme vybrat mezi tím „zůstat u původních dveří“, nebo „vybrat si tu původně odmítnutou množinu devíti dveří“, je pro hodně lidí jasné, že změna volby dává vyšší šanci na výhru.

Podobně byste si to mohli představit se stovkou dveří. Jeden poklad, 99krát koza. Vy vyberete jedny dveře, moderátor pak otevře 98 dveří, a za každými z nich je koza. Budete trvat na tom, že jste si na první pokus vybrali ty správné dveře? Nebo uvítáte možnost změny a vyberete si ty dveře, za kterými se poklad skrývá na 99 %? Jasná volba.

Další možností je ukázat – v naší původní hádance s trojicí dveří – úplně všechny možnosti. Ono jich totiž na začátku až tolik není. Výhra může být za prvními, druhými, nebo třetími dveřmi. A vy máte na výběr ze tří. Vše ostatní je pak dané.

Můžete si tedy proklikat všech devět variant. A vidíte, že strategie „změna dveří“ vedla k úspěchu dvakrát častěji než strategie „zůstat u původní volby“.

Hádanka Monty Hall patří k populárním matematickým rébusům z dobrého důvodu. Připomíná nám totiž důležitý princip: pravděpodobnost se nemění automaticky jen proto, že se něco stalo. Pravděpodobnost přepočítáváme ve chvíli, kdy dostáváme nové relevantní informace.

Lidský mozek posuzuje pravděpodobnost poměrně naivně: na základě počtu možností, ze kterých vybíráme. To obvykle není vůbec špatná myšlenková zkratka. Je intuitivní a často vede ke správnému cíli. Ale pokud jsou možnosti, které nám jsou prezentované, nějak podmíněné, tak jednoduché pravidlo přestává platit. Musíme se ptát, na základě čeho jsou ty možnosti prezentované, jak došlo k jejich výběru.

Pokud by například lékař odhadoval, který z pacientů trpí nějakým nakažlivým onemocněním, snadno by došel k intuitivnímu závěru, že šance je u všech stejná. Ostatně, z jeho pohledu jde o náhodné pacienty. Ve skutečnosti ale musí při posuzování zvážit rodinnou anamnézu. Pokud u některých pacientů například existují dědičné dispozice nebo nějaké rizikové chování, jejich šance na onemocnění je vyšší.

Aktuálnější příklad pochází ze světa online vyhledávačů a sociálních sítí. Pokud se uživatel často setkává s nějakým typem obsahu, může podvědomě dojít k přesvědčení, že se jedná o populární obsah, který se podobně často ukazuje všem. Ve skutečnosti je ale výběr ovlivněn přímo pro něj na míru, na základě toho, co algoritmus spočítal jako ziskové. Teoreticky to samozřejmě víme – jako víme, že moderátor v naší hádance nevybírá dveře náhodně –, ale je snadné na to zapomenout.

Pro mne osobně je pak tato hádanka připomínkou toho, jak snadné je se zmýlit. Když jsem o jejím řešení poprvé psal v létě 2008, nedostal jsem sice tolik dopisů, jako po letadle na běžícím pásu, ale ti, kteří mi psali, byli často velmi zběhlí v matematice. Nebudu jmenovat, ale určitě rozuměli matematice lépe než já. A právě to jim dávalo jistotu, že chybu neudělali oni, ale ten nekňuba redaktor.

O to hůře se pak s takovým člověkem komunikuje. Ale to mě na tom vlastně bavilo. Měl jsem spočítané a ověřené, že mám pravdu, a teď jsem hledal způsob, jak to vysvětlit. A když se obě strany konečně začaly navzájem poslouchat, mohly se dohodnout, jak objektivně změřit, která strategie skutečně funguje lépe. Což je možná hlavní lekce téhle hádanky: intuice je hezká věc, ale pokud si ji můžete objektivně ověřit, udělejte to.

Jinak se vám může stát, že si váš mozek jen vykopal zákop kolem svého prvního nápadu, a ten pak brání hlava nehlava.